题目内容
【题目】【2018湖北七市（州）教研协作体3月高三联考】已知椭圆
： 
的左顶点为
，上顶点为
，直线
与直线
垂直，垂足为
点，且点
是线段
的中点．
（I）求椭圆
的方程；
（II）如图，若直线
： 
与椭圆
交于
， 
两点，点
在椭圆
上，且四边形
为平行四边形，求证：四边形
的面积
为定值．
【答案】（I）
；（II）
【解析】试题分析：（1）根据题意可得
， 
故斜率为
，由直线
与直线
垂直，可得
，因为点
是线段
的中点，∴点
的坐标是
，
代入直线得
，连立方程即可得
， 
；（2）∵四边形
为平行四边形，∴
，设
， 
， 
，∴
，得
，将
点坐标代入椭圆
方程得
，
点
到直线
的距离为
，利用弦长公式得EF，则平行四边形
的面积为
.
解析：（1）由题意知，椭圆
的左顶点
，上顶点
，直线
的斜率
，
得
，
因为点
是线段
的中点，∴点
的坐标是
，
由点
在直线
上，∴
，且
，
解得
， 
，
∴椭圆
的方程为
.
（2）设
， 
， 
，
将
代入
消去
并整理得
，
则
， 
，
，
∵四边形
为平行四边形，∴
，
得
，将
点坐标代入椭圆
方程得
，
点
到直线
的距离为
， 
，
∴平行四边形
的面积为
.
故平行四边形
的面积
为定值
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
， 
.
（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）当
时，求证：函数
有两个不相等的零点
， 
，且
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间，导数小于零求得减区间（2）函数有两个不同的零点，先分析函数单调性得零点所在的区间， 
在
上单调递增，在
上单调递减.∵
， 
， 
，∴函数
有两个不同的零点，且一个在
内，另一个在
内.
不妨设
， 
，要证
，即证
， 
在
上是增函数，故
，且
，即证
. 由
，得
，
令
， 
，得
在
上单调递减，∴
，且∴
， 
，∴
，即∴
，故
得证
解析：（1）当
时， 
，得
，
令
，得
或
.
当
时， 
， 
，所以
，故
在
上单调递减；
当
时， 
， 
，所以
，故
在
上单调递增；
当
时， 
， 
，所以
，故
在
上单调递减；
所以
在
， 
上单调递减，在
上单调递增.
（2）证明：由题意得
，其中
，
由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
∵
， 
， 
，
∴函数
有两个不同的零点，且一个在
内，另一个在
内.
不妨设
， 
，
要证
，即证
，
因为
，且
在
上是增函数，
所以
，且
，即证
.
由
，得
，
令
， 
，
则
.
∵
，∴
， 
，
∴
时， 
，即
在
上单调递减，
∴
，且∴
， 
，
∴
，即∴
，故
得证.
【题目】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：份，
）的函数解析式；
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品，
表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？
【题目】中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的
列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
.
(1)根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有
的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？
(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件
为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件发生的概率？
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列联表
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 60 | ||
不使用手机支付 | 24 | ||
合计 | 100 |
附：
