题目内容

【题目】已知椭圆的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上,直线与椭圆交于两点,与轴, 轴分别相交于点合点,且,点时点关于轴的对称点, 的延长线交椭圆于点,过点分别做轴的垂线,垂足分别为.

(1) 求椭圆的方程;

(2)是否存在直线,使得点平分线段若存在,请求出直线的方程;若不存在,请说明理由。

【答案】(1);(2)存在直线的方程为.

【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出,再由点 在椭圆上,可求出 的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出 点的坐标,由已知条件可求出 点的坐标,设联立直线与椭圆的方程,消去 ,得到关于 的一元二次方程,由韦达定理可求出 的表达式以及直线 的斜率,联立直线与椭圆方程,可求出的表达式,进而求出的表达式, 由平分线段,求出的值,得出直线方程.

试题解析:(1)由题意知,即 ,即,

在椭圆上,∴

所以椭圆方程为.

(2)存在

,∵

,

联立

平分线段,则

, ∴

把①,②代入,得

所以直线的方程为

点睛:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点平分线段, 点为的中点,利用中点坐标公式,求出的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关系比较复杂,容易弄错.

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