题目内容

设函数f（x）=exsinx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（1）∵f（x）=exsinx，
∴f′（x）=ex（sinx+cosx）=
2
exsin(x+
π
4
)．
由f′（x）≤0，得sin(x+
π
4
)≤0，
∴2kπ+π≤x+
π
4
≤2kπ+2π，即2kπ+
3π
4
≤x≤2kπ+
7π
4
．
∴f（x）的单调减区间为[2kπ+
3π
4
，2kπ+
7π
4
]，k∈Z；
（2）∵x∈[0，π]，
由（1）知，x∈[0，
3π
4
]是单调增区间，x∈[
3π
4
，π]是单调减区间，又f(0)=0，f(π)=0，f(
3
4
π)=
2
2
e
3
4
π，
∴fmax=f(
3π
4
)=
2
2
e
3π
4
，fmin=f（0）=f（π）=0．
练习册系列答案
相关题目
设f(x)=
ex
1+ax2
，其中a为正实数
（Ⅰ）当a=
4
3
时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
已知函数f（x）=
1+lnx
x
．
（1）设a＞0，若函数f（x）在区间（a，a+
1
2
）上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥
k2-k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较
y
x
与
1-lny
1-lnx
的大小．
用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，求：扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？并求出此时容器的最大容积．
已知函数f（x）=lnx-x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若不等式af（x）≥x-
1
2
x2在x∈（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；
（3）n∈N+，求证：
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
＞
n
n+1
．
设函数f(x)=
1
2
x2ex
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[
m
2
+f′（x）]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围；
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x-
p+2e
x
-3在[1，e]上至少存在一个x0使得h（x0）＞f（x0）成立，求实数P的取值范围．
已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[
m
2
+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

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