题目内容
用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,求:扇形的圆心角多大时,容器的容积最大?并求出此时容器的最大容积.
设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,那么r2+h2=R2,
因此,V=
πr2h
=
π(R2-h2)h=
πR2h-
πh3(0<h<R).…(3分)
V′=
πR2-πh2.
令V'=0,即
πR2-πh2=0,得 h=
R.…(5分)
当 0<h<
R时,V'>0.
当
R<h<R时,V'<0.
所以,h=
R时,V取得极大值,并且这个极大值是最大值.…(8分)
把 h=
R代入r2+h2=R2,得 r=
R.
由Rα=2πr,得 α=
π
答:圆心角α为
π弧度时,漏斗容积最大.…(12分)

因此,V=
1 |
3 |
=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
V′=
1 |
3 |
令V'=0,即
1 |
3 |
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当 0<h<
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3 |
当
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所以,h=
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3 |
把 h=
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3 |
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由Rα=2πr,得 α=
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答:圆心角α为
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