题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在x轴上的射影分别为左焦点F₁和右焦点F₂，直线PQ的斜率为 $数学公式$ ，过点A且与AF₁垂直的直线与x轴交于点B，△AF₁B的外接圆为圆M．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线 $数学公式$ 与圆M相交于E，F两点，且 $数学公式$ ，求椭圆方程；
（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于 $数学公式$ ，求椭圆C的短轴长的取值范围．

解：（1）由条件可知 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ （4分）
（2）由（1）可知， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
从而M（c，0）．半径为a，
因为 $\text{[math]}$ ，
所以∠EMF=120°，可得：M到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ．
所以c=2，所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．（8分）
（3）因为点N在椭圆内部，
所以b＞3．（9分）
设椭圆上任意一点为K（x，y），
则 $\text{[math]}$ ．
由条件可以整理得：y²+18y-4b²+189≥0
对任意y∈[-b，b]（b＞3）恒成立，
所以有： $\text{[math]}$
或者 $\text{[math]}$
解之得： $\text{[math]}$ （13分）
分析：（1）先把点P，Q的坐标用a，b，c表示出来，再利用直线PQ的斜率为 $\text{[math]}$ ，即可求椭圆的离心率；
（2）先求出点A，F₁，B以及M的坐标和圆的半径，再利用 $\text{[math]}$ 可得M到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ．就可求出a，b，c的值进而求出椭圆方程；
（3）先利用点N（0，3）在椭圆C内部求出b的范围，再求出椭圆C上的点到点N的距离的表达式，利用题中条件转化为恒成立问题来求椭圆C的短轴长的取值范围．
点评：本题综合考查了圆与椭圆的综合，直线与椭圆的位置关系以及向量的数量积问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点