Question

已知函数f（x）=2^x反函数为f^-1（x），若f^-1（m）+f^-1（n）=2，则的最小值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   1
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式 求最值等相关知识．根据y=2^x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（m）+f^-1（n）=2可得a、b的关系式，根据基本不等式 即可得到 最小值．
解答：由y=2^x解得：x=log₂y
∴函数f（x）=2^x的反函数为f^-1（x）=log₂x，x＞0
由f^-1（m）+f^-1（n）=2得：log₂m+log₂n=2
即：log₂mn=2
∴mn=4
∴
则的最小值为1
故选C．
点评：本题小巧灵活，用到的知识比较丰富，具有综合性特点，涉及了反函数、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式 求最值等多方面的知识，是这些内容的有机融合，思维密度较大；解题中用注意对数的运算公式化简log₂a+log₂b=4得a、b的关系式．