题目内容
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,它在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)在函数f(x)的图象上是否存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b?若存在,求出M点的坐标,若不存在,则说明理由;
(Ⅲ)设f(x)的图象交x轴于A、B、C三点,且B的坐标为(2,0),求线段AC的长度|AC|的取值范围.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)在函数f(x)的图象上是否存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b?若存在,求出M点的坐标,若不存在,则说明理由;
(Ⅲ)设f(x)的图象交x轴于A、B、C三点,且B的坐标为(2,0),求线段AC的长度|AC|的取值范围.
(1)由条件可知f(x)在区间[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性,
∴x=0是f(x)的一个极值点,
∴f′(0)=0
而f′(x)=3ax2+2bx+c,
故c=0.
(2)令f′(x)=0,则3ax2+2bx=0,
解得 x1=0,x2=-
.
又f(x)在区间[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,
得
解得 -6≤
≤-3.
假设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f'(x0)=3b 即3a
+2bx0-3b=0所以△=4ab(
+9)
∵-6≤
≤-3∴ab<0,
+9>0,∴△<0,x0无解
故不存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b
(3)设A(α,0),C(β,0),
则由题意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ]…(2分)
则
,解得
又∵函数f(x)的图象交x轴于B(2,0),
∴f(2)=0即8a+4b+d=0
∴d=-4(b+2a),
αβ=4+
从而 |AC|=|α-β|=
=
∵-6≤
≤-3
∴当
=-6时,|AC|max=4
;当
=-3时,|AC|min=3.
所以3≤|AC|≤4
∴x=0是f(x)的一个极值点,
∴f′(0)=0
而f′(x)=3ax2+2bx+c,
故c=0.
(2)令f′(x)=0,则3ax2+2bx=0,
解得 x1=0,x2=-
2b |
3a |
又f(x)在区间[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,
得
|
b |
a |
假设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f'(x0)=3b 即3a
x | 20 |
b |
a |
∵-6≤
b |
a |
b |
a |
故不存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b
(3)设A(α,0),C(β,0),
则由题意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ]…(2分)
则
|
|
又∵函数f(x)的图象交x轴于B(2,0),
∴f(2)=0即8a+4b+d=0
∴d=-4(b+2a),
αβ=4+
2b |
a |
从而 |AC|=|α-β|=
(α+β)2-4αβ |
(
|
∵-6≤
b |
a |
∴当
b |
a |
3 |
b |
a |
所以3≤|AC|≤4
3 |
练习册系列答案
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A、-22 | B、10 | C、-10 | D、22 |