Question

已知椭圆

x2

α 2

+

y 2

α2-1

=1(a＞1)的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M，直线F₁M与抛物线C相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（Ⅱ）过F₂作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1，椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），抛物线C的焦点为(

p

2

，0)，故

p

2

=1，p=2，由此能求出抛物线C的方程和点M的坐标．
（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理和两点式方程能导出直线FN恒过定点（3，0）．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1，（1分）
所以椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），（2分）
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，p=2，∴C：y²=4x，（3分）
设M（x₁，y₁），则y₁²=4x₁，直线F₁M的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)，（4分）
代入抛物线C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²，
∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，∴F₁M与抛物线C相切，
∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，∴x₁=1，M（1，±2），（7分）
（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0，（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=4t，

y1+y2

2

=2t，（9分）
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，

x1+x2

2

=2t2+1，（10分）
所以F（2t²+1，2t），将t换成-

1

t

得N（

2

t2

+1，-

2

t

），（12分）
由两点式得FN的方程为x-(t-

1

t

) y=3，（13分）
当y=0时x=3，所以直线FN恒过定点（3，0）．（13分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用和韦达定理的合理运用．