Question

已知椭圆x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；
（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的方程知a=1，点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（-c，0），由FC是⊙P的直径，知FB⊥BC．由kBC=-b，kBF=

b

c

，知b²=c=1-c²，c²+c-1=0．由此能求出椭圆的离心率．
（2）由P过点F，B，C三点，知圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为x=

1-c

2

．由BC的中点为(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b，知BC的垂直平分线方程为y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)，所以m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

．由P（m，n）在直线x+y=0上，知b=c．由此能求出椭圆的方程．

解答：解：（1）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），
设F的坐标为（-c，0），（1分）
∵FC是⊙P的直径，
∴FB⊥BC
∵kBC=-b，kBF=

b

c

∴-b•

b

c

=-1（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0（3分）
解得c=

5 -1

2

（5分）
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

5 -1

2

（6分）
（2）解：∵⊙P过点F，B，C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为x=

1-c

2

①（7分）
∵BC的中点为(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b
∴BC的垂直平分线方程为y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)②（9分）
由①②得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，
即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

（11分）
∵P（m，n）在直线x+y=0上，
∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0?（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0
∴b=c（13分）
由b²=1-c²得b2=

1

2

∴椭圆的方程为x²+2y²=1（14分）

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．