Question

【选做题】（1）已知矩阵A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

．求向量α，使得A²α=β．
（2）椭圆中心在原点，离心率为

1

2

，点P（x，y）是椭圆上的点，若2x-

3

y的最大值为10，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）利用矩阵的运算，建立方程组，即可求得向量α；
（2）设出题意的参数方程，利用三角函数知识，即可求椭圆的标准方程．

解答：解：（1）设α=

x y

，由A²α=β得：

3 2 4 3

x y

=

1 2

，
∴

3x+2y=1 4x+3y=2

，∴

x=-1 y=2

，∴α=

-1 2

．
（2）由题意，离心率为

1

2

，设椭圆标准方程是

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，它的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ是参数），
∴2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin(θ+?)，最大值是5c，
依题意5c=10，c=2，故椭圆的标准方程是

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查矩阵的运算，考查椭圆的参数方程与标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．