题目内容
已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
解析 (1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋
)(x－2－)．
当x∈(－∞，2－)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－)上单调增加；
当x∈(2－，2＋)时f′(x)＜0，f(x)在(2－，2＋)上单调减少；
当x∈(2＋，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋，＋∞)上单调增加．
综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－，2＋)．
(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．
当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，
因此a的取值范围是(
，
)．
练习册系列答案
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g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
x3＋
x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
ax2＋3x.