Question

过曲线y=x²上一点Q₀（1，1）作曲线的切线，交x轴于点P₁；过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线交x轴于P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂；如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，设P_n的横坐标为x_n．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）求x_n（用只含有字母n的代数式表示）．
（Ⅲ）令an=

n

xn

，求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，求得曲线在点Q₀处的切线方程，令y=0，可求x₁；
（Ⅱ）曲线在点Qn-1(xn-1，

x

2 n-1

)处的切线方程为y-

x

2 n-1

=2xn-1(x-xn-1)，令y=0，得x=

1

2

xn-1，即xn=

1

2

xn-1，从而可得{x_n}是以x1=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，由此可求x_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an=

n

xn

=n•2n，所以Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用错位相减法可求数列{a_n}的前n项的和S_n．

解答：解：（Ⅰ）因为y'=2x，所以曲线在点Q₀处的切线方程为y-1=2（x-1）．
令y=0，得x=

1

2

，即x1=

1

2

．
（Ⅱ）曲线在点Qn-1(xn-1，

x

2 n-1

)处的切线方程为y-

x

2 n-1

=2xn-1(x-xn-1)．
令y=0，得x=

1

2

xn-1，即xn=

1

2

xn-1．
所以{x_n}是以x1=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
所以xn=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an=

n

xn

=n•2n．
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①
∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1②
由①-②得，-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2．
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查导数的几何意义，考查等比数列的判定，考查等比数列的通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．