题目内容

过曲线y=x²上一点Q₀（1，1）作曲线的切线，交x轴于点P₁；过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线交x轴于P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂；如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，设P_n的横坐标为x_n．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）求x_n（用只含有字母n的代数式表示）．
（Ⅲ）令 $数学公式$ ，求数列{a_n}的前n项的和S_n．

解：（Ⅰ）因为y'=2x，所以曲线在点Q₀处的切线方程为y-1=2（x-1）．
令y=0，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
令y=0，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
所以{x_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
所以 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ ②
由①-②得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求导函数，求得曲线在点Q₀处的切线方程，令y=0，可求x₁；
（Ⅱ）曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，令y=0，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，从而可得{x_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，由此可求x_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，利用错位相减法可求数列{a_n}的前n项的和S_n．
点评：本题考查导数的几何意义，考查等比数列的判定，考查等比数列的通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．