题目内容
【题目】已知(且m为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意的,都存在,使得(其中e为自然对数的底数),求实数k的取值范围.
【答案】(1)当时,递增区间是,无递减区间,当时,递增区间是,递减区间是;(2).
【解析】
(1)求出,对分类讨论,求出的解,就可得出结论;
(2)设,所求的问题转化为,通过求导数法,求出取最大值时自变量与的关系,而对任意的都成立,将用表示,构造新函数,再求导求出新函数的最小值,即可求出结论.
(1)的定义域为,
,当时,恒成立,
当时,,
综上,当时,递增区间是,无递减区间,
当时,递增区间是,递减区间是;
(2)设,依题意,
,令,
恒成立,在是减函数,
即在是减函数,,
,存在唯一,使得,
当,
递增区间是,递减区间是,
取得极大值,也是最大值为,
,
对于对任意的恒成立,
其中,,
即,
对于对任意的恒成立,
设,
,
时,,
,当,
时,取得极小值,也是最小值,
即.
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