题目内容

若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:

（1）非负性:，当且仅当时取等号；

（2）对称性:；

（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.

今给出四个二元函数:①；②③；

④.

能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是             .

 

【答案】

①

【解析】

试题分析：①对于函数：满足非负性：，当且仅当时取等号；满足对称性：；

∵，对任意的实数均成立，因此满足三角形不等式：．可知能够成为关于的、的广义“距离”的函数．

②，但是不仅时取等号，也成立，因此不满足新定义：关于的、的广义“距离”的函数；

③，若成立，则不一定成立，即不满足对称性；

④同理不满足对称性．

综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的、的广义“距离”的函数．

故答案为①．

考点：新定义，函数的概念与表示.

 

练习册系列答案
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设函数f（x）=
1
3
x3-mx2+（m2-4）x，x∈R．
（1）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）已知关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β（α＜β），求实数m的取值范围；
（3）在（2）条件下，若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥-
16
3
恒成立，求实数m的取值范围．
设函数f（x）=
13
x3-mx2+（m2-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数m的取值范围．
设函数f（x）、g（x）的定义域分别为M，N，且M⊆N，若对任意的x∈M，都有g（x）=f（x），则称g（x）是f（x）的“拓展函数”．已知函数f(x)=
1
3
log2x，若g（x）是f（x）的“拓展函数”，且g（x）是偶函数，则符合条件的一个g（x）的解析式是
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合条件的函数也可）
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合条件的函数也可）
．
（2012•绵阳二模）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=
2x
x+2
；   ②f（x）=x3，g（x）=3x-1；
③f（x）=ex-2x（其中e为自然对数的底数），g（x）=2-x；④f（x）=
2
3
x-
5
8
，g（x）=
x
．
其中，函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”的是
①④
①④
．
已知函数f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）
（Ⅰ）求函数r(x)=
1f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的n∈N+，都有an＞0，且a1+a2+…+a2013=2013e（e为自然对数的底），求f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）的最小值．

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