Question

已知函数f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）
（Ⅰ）求函数r(x)=

1

f(x)

的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的n∈N₊，都有a_n＞0，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=2013e（e为自然对数的底），求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求定义域，然后求导数，利用导数求单调区间．
（Ⅱ）构造新函数，利用导数求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）r(x)=

1

f(x)

=

1

xlnx

，r′(x)=-

1+lnx

(xlnx)2

，所以函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
当x∈(0，

1

e

)时，r'（x）＞0．r（x）单调递增；当x∈(

1

e

，1)和x∈（1，+∞）时，r'（x）＜0，r（x）单调递减．
（Ⅱ）当a₁=a₂=…=a₂₀₁₃=e时，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）取得最小值2013e，
    下面给予证明：
   函数f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y=2x-e
  令g（x）=f（x）-（2x-e）=xlnx-2x+e，g'（x）=lnx-1，
  则函数y=g（x）在x∈（0，e）单调递减，在x∈（e，+∞）单调递增
  当x=e时，y=g（x）取得最小值为0，即f（x）≥2x-e恒成立．
  故f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）≥2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₃）-2013e≥2013e
   当且仅当a₁=a₂=…=a₂₀₁₃=e取得最小值．此时f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）取得最小值2013e．

点评：本题的考点是函数的单调性与导数之间的关系，以及利用导数研究函数的最值问题，构造函数是解决本题的关键．