题目内容

是否存在实数λ，使函数f（x）=2cos2x-4λcosx-1（0≤x≤
π
2
）的最小值是-
3
2
？若存在，求出所有的λ和对应的x值，若不存在，试说明理由．
分析：利用三角公式，将f（x）进行化简，然后利用f（x）的最小值，确定条件关系即可．
解答：解：f（x）=2cos2x-4λcosx-1=2（cosx-λ）2-2λ2-1，
∵0≤x≤
π
2
，∴0≤cosx≤1，
∵最小值为-
3
2
，
∴（Ⅰ）
0≤λ≤1
-2λ2-1=-
3
2
或（Ⅱ） 
λ＜0
-1=-
3
2
或（Ⅲ） 
λ＞1
-4λ+1=-
3
2
，
由（Ⅰ）解得λ=
1
2
，这是cosx=
1
2
，x=
π
3
（Ⅱ）无解，（Ⅲ）无解，
所以存在实数λ，它的值是
λ=
1
2
x=
π
3
．
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角化简公式．
练习册系列答案
相关题目
给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1（x）=2x-1，f2（x）=-
1
2
x2-
1
2
x+1，f3（x）=2x-1，f4（x）=cosx．；
（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=
5x-a
x+2
在D2上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．
已知定义在R上的奇函数f（x）．当x＜0时，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）问：是否存在实数a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]时，函数值的集合为[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．
当1＜x＜2时，是否存在实数a使y=x2-3(a+1)x+2(3a+1)的函数值小于0恒成立，若存在，则a的范围是____________.

（本小题满分16分：８＋８）

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量，都有函数值,则称函数y=f（x）在 D上封闭。

（1）若定义域判断下列函数中哪些在上封闭，并给出推理过程；

    

（2）若定义域是否存在实数，使函数在上封闭，若存在，求出值，若不存在，请说明理由。

 

 

 

 
给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1（x）=2x-1，f2（x）=-
1
2
x2-
1
2
x+1，f3（x）=2x-1，f4（x）=cosx．；
（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=
5x-a
x+2
在D2上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．

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