Question

【题目】已知 ，B（0，2），C（1，0），斜率为 的直线l过点A，且l和以C为圆心的圆相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得 ，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，B（0，2），C（1，0），斜率为 的直线l过点A，

∴l：x﹣2y+4=0，

∵直线l和圆C相切，∴设圆C的半径为r，

则 ，

∴圆C：（x﹣1）2+y2=5

（2）解：设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，

又∵点P在圆C上，∴ ，

相减得：3x﹣2y+5=0，

代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，

解得x=﹣1或 ，

∴点的坐标为P（﹣1，1）或

（3）解：若直线m的斜率不存在，则MN的斜率也不存在，不合题意：

若直线m的斜率存在且为k，设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），

直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，

由k2=kCMkCN，得 ，

即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．

整理得： ，

∵m不过C点，∴k+b≠0，∴上式化为k（x1+x2）+b﹣k=0．

将 代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，

即（k2﹣1）（k+b）=0，

∵k+b≠0，∴k2=1，

∴直线m的斜率为±1

【解析】（1）利用直线的斜率及其上的点求得直线的方程，再利用圆与直线相切求得圆的半径，从而求得圆的方程；（2）利用点P在圆上和线段PA，PB的长度关系得到x，y的方程组，解方程组得到点P的坐标；（3）分直线m的斜率存在与不存在两种情况，依据题意直线m的斜率存在，利用直线m与圆的位置关系及CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，以及根与系数的关系化简得到k，b的值，最终解的k的值.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与圆的三种位置关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．