题目内容
10.已知数列{an}满足an=$\frac{1+2+3+…+n}{n}$,则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{2n}{n+2}$.分析 通过等差数列的求和公式可知an=$\frac{n+1}{2}$,裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4($\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$),并项相加、计算即得结论.
解答 解:∵an=$\frac{1+2+3+…+n}{n}$=$\frac{n(n+1)}{2n}$=$\frac{n+1}{2}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{(n+1)(n+2)}$=4($\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$),
∴所求值为4($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$)
=4($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$)
=$\frac{2n}{n+2}$,
故答案为:$\frac{2n}{n+2}$.
点评 本题考查数列的求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |