题目内容
(本小题满分12分)已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交;并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.
(Ⅰ) (Ⅱ)
解析:
(1)由,
得,则由, 解得F(3,0)
设椭圆的方程为, 则,解得
所以椭圆的方程为 ……5分
(2)因为点在椭圆上运动,所以,
从而圆心到直线的距离.…………8分
所以直线与圆恒相交,又直线被圆截得的弦长为
由于,所以,则,
即直线被圆截得的弦长的取值范围是 …………12分
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