Question

（2004•黄埔区一模）已知，二次函数f（x）=ax²+bx+c及一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0．
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A₁B₁时，试求|A₁B₁|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）首先将两函数联立得出ax²-2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（II）利用线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的平方，以及a，b，c的符号得出|A₁B₁|的范围即可．

解答：解：依题意，知a、b≠0?
∵a＞b＞c且a+b+c=0?
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）=g（x），?
得ax²+2bx+c=0．（*）?
△=4（b²-ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴△＞0?
∴f（x）、g（x）相交于相异两点．
（Ⅱ）设方程的两根为x₁，x₂，则|A₁B₁|²=

A

a2

=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此时3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．

点评：本小题主要考查二次函数的图象、二次函数的性质、根的判别式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题，