Question

已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=-1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化简得y²=4x；
（Ⅱ）由

y=kx+m y2=4x

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由△=0，得km=1，从而有M（m²，2m），N(-1，-

1

m

+m)，
设点E（x，0），使得ME⊥NE，则(x-m2)(x+1)+(-2m)(

1

m

-m)=0．
（1-x）m²+x²+x-2=0，得x=1．
所以存在一个定点E（1，0）符合题意．