Question

（2009•宜春一模）已知x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一个极值点
（1）求b的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设g（x）=f（x）-

3

x

，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f′（1）=0，解方程即求得b值，注意检验；
（2）在定义域内解不等式f′（x）＞0，可求单调增区间；
（3）设过点（2，5）与曲线g （x）相切的切线的切点坐标为（x₀，y₀），则由切线过点（2，5）可得y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），可化为lnx0+

2

x0

-2=0，令h（x）=lnx+

2

x

-2，问题转化为h（x）在（0，+∞）上的零点个数，由零点判定定理可得结论；

解答：解：（1）因x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一个极值点，∴f′（1）=0，
又f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，
所以2+b+1=0，解得b=-3，
经检验，适合题意，所以b=-3；
（2）f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＞0，
又x＞0，∴x＞1，
∴函数的单调增区间为[1，+∞）；
（3）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，
设过点（2，5）与曲线g （x）相切的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），即2x0+lnx0-5=(2+

1

x0

)(x0-2)，
∴lnx0+

2

x0

-2=0，
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
由h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0，得x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
又h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)=

2

e2

＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线；

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，解决（3）问的关键构造函数转化为函数零点问题．