题目内容

已知点P是椭圆
x2
36
+
y2
24
=1(x≠0,y≠0)
上的动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且
F1M
MP
=0
,则|OM|的取值范围是(  )
分析:结合椭圆的图象,当点P在椭圆与y轴交点处时,点M与原点O重合,此时|OM|取最小值0;当点P在椭圆与x轴交点处时,点M与焦点F1重合,此时|OM|取最大值2
3
,由此能够得到|OM|的取值范围.
解答:解:由题意得c=2
3
,当P在椭圆的短轴顶点处时,M与 O重合,|OM|取得最小值等于0.
当P在椭圆的长轴顶点处时,M与F1重合,|OM|取得最大值等于c=2
3

由于xy≠0,故|OM|的取值范围是 (0,2
3
)

故选B.
点评:本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,结合图象解题,事半功倍.
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