题目内容

已知点P是椭圆
x2
36
+
y2
24
=1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且
F1M
•
MP
=0，则|OM|的取值范围是（　　）
分析：结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2
3
，由此能够得到|OM|的取值范围．
解答：解：由题意得c=2
3
，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与 O重合，|OM|取得最小值等于0．
当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2
3
．
由于xy≠0，故|OM|的取值范围是 (0，2
3
)，
故选B．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．
练习册系列答案
相关题目
已知离心率为
3
2
的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线
x2
3
-y2=1的左右焦点，点P是椭圆上不同于A1，A2的任意一点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2．
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）试判断k1•k2的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当k1=
1
2
时，圆C2：x2+y2-2mx=0被直线PA2截得弦长为
4
5
5
，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）以双曲线
x2
3
-y2=1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．
已知离心率为
3
2
的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线
x2
3
-y2=1的左右焦点，点P是椭圆上不同于A1，A2的任意一点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2．
（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；
（Ⅱ）试判断k1•k2的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当k1=
1
2
时，圆C2：x2+y2-2mx=0被直线PA2截得弦长为
4
5
5
，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）以双曲线
x2
3
-y2=1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．

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