题目内容
设函数f（x）=x2+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|x2+x-2|对一切x∈R恒成立；定义数列{an}满足：a1=2，an=f(
)+3(x≥ 2)．
（1）求a、b的值；
（2）求证：
＜an≤5•(
)n-1-3 （n∈N*）．
| an-1 |
（1）求a、b的值；
（2）求证：
| (n+1)2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
分析：（1）由|f（x）|≤|x2+x-2|=|（x+2）（x-1）|知a=1，b=-2，由此可知f（x）；
（2）先验证：当n=1时，1=
＜a1≤5•(
)1-1-3成立；再考察：当n≥2时利用条件得出：
＞
+
从而an＞
(n≥2)最后结合放缩法即可证得结论．
（2）先验证：当n=1时，1=
| (1+1)2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| a n |
| a n-1 |
| 1 |
| 2 |
| (n+1) 2 |
| 4 |
解答：解：（1）由|f（x）|≤|（x+2）（x-1）|得f（-2）=0，f（1）=0，
故a=1，b=-2，∴f（x）=x2+x-2；
（2）当n=1时，1=
＜a1≤5•(
)1-1-3成立
当n≥2时，an=f(
)+3=an-1+
+1
∴an=（
+
）2+
＞=（
+
）2，
∴
＞
+
∴当n≥2时，
=(
-
)+(
-
)+…+(
-
)+
＞
+
＞
∴an＞
(n≥2)
又an=a n-1+
+1＜a n-1+1+
=
+
an-1，（n≥2）
从而an+3＜
（a n-1+3）
∴当n≥2时，
an+3＜（
）2（a n-2+3）＜…＜（
）n-1（a1+3）=5（
）n-1
∴an≤5（
）n-1-3
所以n∈N*时，
＜an≤5•(
)n-1-3
故a=1，b=-2，∴f（x）=x2+x-2；
（2）当n=1时，1=
| (1+1)2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
当n≥2时，an=f(
| an-1 |
| an-1 |
∴an=（
| a n-1 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| a n-1 |
| 1 |
| 2 |
∴
| a n |
| a n-1 |
| 1 |
| 2 |
∴当n≥2时，
| a n |
| a n |
| a n-1 |
| a n-1 |
| a n-2 |
| a 2 |
| a 1 |
| a 1 |
＞
| n-1 |
| 2 |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
∴an＞
| (n+1) 2 |
| 4 |
又an=a n-1+
| a n-1 |
| a n-1+1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
从而an+3＜
| 3 |
| 2 |
∴当n≥2时，
an+3＜（
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴an≤5（
| 3 |
| 2 |
所以n∈N*时，
| (n+1)2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．
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