Question

已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

的椭圆过点（

2

，

2

2

）．
（ I）求椭圆方程；
（ II）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂，求m²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的方程、离心率e=

c

a

及a²=b²+c²即可得出；
（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及已知条件即可得出．

解答：解：（ I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意可得

e= c a = 3 2 ( 2 )2 a2 + ( 2 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，c=

3

．
∴椭圆的方程

x2

4

+y2=1．
（ II）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵直线l与该椭圆交于P、Q两点，∴△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，
化为4k²+1＞m²．（*）
∴

x1+x2=- 8km 4k2+1 x1x2= 4m2-4 4k2+1

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

，4k=k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1x2+y2x1

x1x2

=

2kx1x2+m(x1+x2)

x1x2

=2k-

2km2

m2-1

，
化为2=1-

m2

m2-1

，
∴m2=

1

2

，满足（*）．
故m2=

1

2

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交的解题模式、根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．