Question

如图，已知AB是过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的弦，F为抛物线的焦点，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求证：
（1）|AB|=x₁+x₂+p；
（2）y₁ y₂=-p²，x₁ x₂=；
（3）（理科）直线的倾斜角为θ时，求弦长|AB|．
（3）（文科）当p=2，直线AB的倾斜角为时，求弦长|AB|．

Answer 1

（1）证明：∵AB是过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的弦，
∴由抛物线定义可得|AB|=x₁++x₂+=x₁+x₂+p；
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0
∴y₁y₂=-p²，∴x₁x₂=；
（3）（理科）解：由（2）知，y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，∴=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4p²m²+2p²，
∴=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°时，m=0，∴|AB|=2p；θ≠90°时，m=，|AB|=+2p；
（4）（文科）由（3）（理科）知，|AB|=+2p=8．
分析：（1）利用抛物线的定义，即可证明；
（2）设直线AB的方程为x=my+，代入y²=2px，再利用韦达定理，即可得到结论；
（3）（理科）根据（1）的结论，表示出x₁+x₂即可；
（3）（文科）根据（3）（理科）的结论，即可求解．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查弦长的计算，属于中档题．