Question

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求动点M的轨迹Q；
（2） F₁，F₂是轨迹Q的左、右焦点，过F1作直线l（不与x轴重合），l与轨迹Q相交于C，D，并与圆x²+y²=3相交于E，F．当

F2E

•

F2F

=λ，且λ∈[

2

3

，1]时，求△F₂CD的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，利用导数的几何含义得到直线的方程，进而求出点A的坐标，利用动点M满足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，利用求动点轨迹的直接法即可求解；
（2）由题意设出直线l的方程，把它与椭圆及已知的圆的方程方程进行联立，利用根与系数的关系整体代换得到△F₂CD的面积用t表示的函数式子，有已知的λ的范围得到t的范围，利用求函数值域的方法得到三角形的面积的取值范围．

解答：解：（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x
∴直线l的斜率为y′|₂=1，
故l的方程为y=x-1，∴点A坐标为（1，0），
设M（x，y）则

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0得
（x-2）+y•0+

2

•

(x-1)2+y2

=0
整理，得

x2

2

+y2=1，
∴动点M的轨迹Q为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为2

2

，
短轴长为2的椭圆．

（2）设l方程为x=ty-1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
由

x=ty-1 x2+y2=3

得（t²+1）y²-2ty-2=0

F2E

•

F2F

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)
=（ty₁-2）（ty₂-2）+y₁y₂
=（t²+1）y₁y₂-2t（y₁+y₂）+4
=

4

t2+1

-2，
由

F2E

•

F2F

∈[

2

3

，1]得t²∈[

1

3

，

1

2

]．
由

x=ty-1 x2 2 +y2=3

得（t²+2）y²-2ty-1=0设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则S△F1CD=

1

2

|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|=

8(t2+1) (t2+2)2

，
设m=t²+1，则S=

8m (m+1)2

=

8 m+ 1 m +2

，m∈[

4

3

，

3

2

]
S关于m在[

4

3

，

3

2

]上是减函数．所以S∈[

4

5

3

，

4

7

6

]．

点评：此题考查了导数的几何含义，双曲线的性质，直线方程与椭圆和圆的方程的联立及根与系数的关系，还考查了有定义域求函数值域的方法，及整体代换的思想．