Question

7．关于函数$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}）$，有以下命题：
①x=$\frac{7π}{6}$是函数f（x）的对称轴； 
②$（-\frac{π}{12}，0）$是函数f（x）的对称中心；
③在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$上函数f（x）单调递增；
④在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上函数f（x）单调递减；
⑤函数f（x）是奇函数．
其中正确的命题序号是①②③④（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①x=$\frac{7π}{6}$时，f（$\frac{7π}{6}$）取得最值，判断x=$\frac{7π}{6}$是对称轴；
②x=-$\frac{π}{12}$时，f（-$\frac{π}{12}$）=0，判断$（-\frac{π}{12}，0）$是f（x）的对称中心；
③x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，判断函数f（x）是单调增函数；
④x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，判断函数f（x）是单调减函数；
⑤验证x=0时，f（0）≠0，判断函数f（x）不是奇函数．

解答 解：对于①，x=$\frac{7π}{6}$时，f（$\frac{7π}{6}$）=3sin（2×$\frac{7π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=3，
∴函数f（x）的图象关于x=$\frac{7π}{6}$对称，是一条对称轴，①正确；
对于②，x=-$\frac{π}{12}$时，f（-$\frac{π}{12}$）=3sin（2×（-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）=0，
∴$（-\frac{π}{12}，0）$是函数f（x）的对称中心，②正确；
对于③，当x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$时，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]；
∴函数f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$上单调递增，③正确；
对于④，当x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$时，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函数f（x）在x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上单调递减，④正确；
对于⑤，x=0时，f（0）=3sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$≠0，
∴函数f（x）不是奇函数，⑤错误．
综上，正确的命题序号是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，考查了图象的单调性与对称性问题，是基础题目．