Question

9．已知函数f（x）=e^x（sinx+cosx）+a，g（x）=（a²-a+10）e^x（a∈R且a为常数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），求实数a的值；
（Ⅱ）若存在实数x₁，x₂∈[0，π]，使得g（x₂）＜f（x₁）+13-e${\;}^{\frac{π}{2}}$成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）判断函数φ（x）=$\frac{{b（1+{e^2}）g（x）}}{{（{a^2}-a+10）{e^2}x}}\;-\frac{1}{x}$+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（0）=$\frac{f（0）-2}{0-1}$列式求得a的值；
（Ⅱ）把存在实数x₁，x₂∈[0，π]，使得g（x₂）＜f（x₁）+13-e${\;}^{\frac{π}{2}}$成立，转化为$g{（x）_{min}}＜f{（x）_{max}}+13-{e^{\frac{π}{2}}}$，然后利用导数分别求出g（x）_min和f（x）_max，代入
$g{（x）_{min}}＜f{（x）_{max}}+13-{e^{\frac{π}{2}}}$，求解关于a的不等式得答案；
（Ⅲ）由φ（x）=0，得$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{{x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$，转化为$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}=\;1-x-xlnx$，分别构造函数h（x）=1-x-xlnx，$t（x）=\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}\;=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$，利用导数分别求得h（x）的最大值和t（x）的最小值，由t（x）＞h（x）_max，判断函数φ（x）在（0，+∞）上没有零点．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（sinx+cosx）+a，得
f'（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
又曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），得f'（0）=$\frac{f（0）-2}{0-1}$，
即2=1-a，解得a=-1；
（Ⅱ）存在实数x₁，x₂∈[0，π]，使得g（x₂）＜f（x₁）+13-e${\;}^{\frac{π}{2}}$成立，
即$g{（x）_{min}}＜f{（x）_{max}}+13-{e^{\frac{π}{2}}}$，
由（Ⅰ）知f'（x）=2e^xcosx=0在x∈[0，π]上的解为$x=\frac{π}{2}$，
函数f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上递增，在$（\frac{π}{2}，π）$上递减，∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{2}）={e^{\frac{π}{2}}}+a$，
又a²-a+10＞0恒成立，g（x）=（a²-a+10）e^x在[0，π]上递增，$g{（x）_{min}}=g（0）={a^2}-a+10$，
故${a^2}-a+10＜{e^{\frac{π}{2}}}+a+13-{e^{\frac{π}{2}}}$，得a²-2a-3＜0，
实a的取值范围是（-1，3）；
（Ⅲ）由$φ（x）=\;\frac{{b（1+{e^2}）g（x）}}{{（{a^2}-a+10）x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$（x＞0），得
$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{{x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$，化为$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}=\;1-x-xlnx$，
令h（x）=1-x-xlnx，则h'（x）=-2-lnx，
由h'（x）=-2-lnx=0，得x=e^-2，
故h（x）在$（0，\frac{1}{e^2}）$上递增，在$（\frac{1}{e^2}，+∞）$上递减，$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{e^2}）=1+\frac{1}{e^2}$．
再令$t（x）=\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}\;=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$，
∵b＞1，∴函数$t（x）=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$在（0，+∞）上递增，$t（x）＞t（0）=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^0}=b（1+\frac{1}{e^2}）＞1+\frac{1}{e^2}$．
知t（x）＞h（x）_max，由此判断函数φ（x）在（0，+∞）上没有零点，
故φ（x）零点个数为0．

点评 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、存在量词等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．