Question

【题目】已知椭圆E：（）的离心率，左、右焦点分别为、，，过点P的直线斜率为k，交椭圆E于A，B两点，.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A关于x轴的对称点为C，证明：三点B、、C共线；

（3）若点B在一象限，A关于x轴的对称点为C，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由正弦定理推得，结合离心率，即可容易求得；

（2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，只需证明即可；

（3）设，结合（2）中所求，由角平分线的性质得，将问题转化为求的范围的问题进行处理.

（1）由正弦定理得，

由椭圆的定义可得，∴，

又∵离心率，∴，∴，

∴，

∴椭圆E的方程为：；

（2）由题意可知，直线l的方程为：，，

设，，则，

联立方程，消去y得：，

∴，解得，

且，①，

要证三点B、、C共线，只需证，即证，

即证，

即证，

即证，

把①代入上式得：

，

∴三点B、、C共线；

（3）设直线的倾斜角为，由点B在第一象限，则，

设，

由（2）可知平分，

由角平分线性质得：，

又为过焦点的弦，所以由椭圆的性质得：

，

∵，∴，

∴，

∴，

∴的取值范围为.