Question

7．已知函数f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m．若对任意的x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[1，4]．使f（x₁）=g（x₂）成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据对任意的x₁∈[2，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m的不等式组，解不等式组可得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1．g（x）=mx+5-2m．
∴当x∈[2，4]时，f（x）∈[-1，3]，记A=[-1，3]．
由题意，知m≠0，当m＞0时，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是增函数，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，记B=[5-m，5+2m]．
由题意，知A⊆B
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≥5-m\\ 3≤5+2m\\ m＞0\end{array}\right.$，解得m≥6…（9分）
当m＜0时，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是减函数，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，记C=[5+2m，5-m，]．
由题意，知A⊆C
∴$\left\{\begin{array}{l}-1≥5+2m\\ 3≤5-m\\ m＜0\end{array}\right.$，解得m≤-3…（11分）
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…..（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，存在性问题，是函数图象和性质的综合应用，其中存在性问题转化为值域的包含关系难度较大．