Question

解关于x的不等式：（ax-2）（x-2）＜0．

Answer 1

分析：由于字母系数a的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的．在二次的情况下，二次项系数可正、可负，且对应二次方程的两个根2，

2

a

的大小也受a的影响，要分类讨论．

解答：解：由题意，当a=0时，原不等式化为x-2＞0，其解集为{x|x＞2}；
当a≠0时，可原不等式对应方程的两根为：2，

2

a

∵2-

2

a

=

2(a-1)

a

，令

2(a-1)

a

＜0，解得0＜a＜1
∴当0＜a＜1时，2＜

2

a

，当a＜0，或a＞1时，2＞

2

a

，
所以，当a＜0时，有2＞

2

a

，，原不等式的解集为{x|x＜

2

a

，或x＞2}；
当0＜a＜1时，有2＜

2

a

，原不等式的解集为{x|2＜x＜

2

a

}，
当a=1时，原不等式化为（x-2）²＜0，其解集为Φ；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|

2

a

＜x＜2}．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，本题关键是对a值的讨论，属中档题．