Question

已知曲线C：y＝x＋ax－8在x＝2处的切线的方程为y＝15x+b．

   （1）求实数a，b的值；

（2）若曲线C的切线l经过点P(，－4)，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）设f(x)＝x＋ax－8，则f(x)＝3x＋a．     

由条件可知，f(2)＝15，即12＋a＝15，解得a＝3．     ………………………2分

因为f(x)＝x＋3x－8，所以f(2)＝6．将(2，6)代入y＝15x＋b，解得b＝－24． …5分

     （2）设直线l与曲线C切于点Q(m，n).

由（1）可知，f(x)＝x＋3x－8，f(x)＝3x＋3．

所以直线l的斜率k＝f(m)＝3m＋3．直线l的方程为y－n＝(3m＋3)(x－m)．………7分

因为直线l经过点P(，－4)，所以－4－n＝(3m＋3)(－m)，

即n＝3m－4m＋3m－8．                                      ① 

因为Q(m，n)在曲线C上，所以n＝f(m)＝m＋3m－8．      ②  ……………11分

由①、②解得或.                   …………………………………13分

      当Q(0，－8)时，直线l的方程为y＝3x－8．

当Q(2，6)时，直线l的方程为y＝15x－24．

      综上，所求直线l的方程为y＝3x－8或y＝15x－24．……………………………15分