题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）设
，若对任意
、
，且
，都有
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函数
的定义域和导数
，然后分
和
两种情况讨论，分析在
的符号，可得出函数的单调区间；
（2）设
，由函数和
在
上的单调性，将不等式
等价转化为
，并构造函数
，将问题转化为函数
在上是减函数，然后由
在上恒成立，结合参变量分离法可求出实数
的取值范围.
（1）函数的定义域为，
.
当时，
恒成立，此时，函数在上单调递增；
当时，由得
；由
得
.
此时，函数的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）
时，函数在上递增，在上递减，
不妨设，则
，
，
等价于
，
即，令
，
等价于函数在上是减函数，
，即
在恒成立，
分离参数，得
，
令
，
，
在上单调递减，
，
，又，故实数的取值范围为.
【题目】某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：
）在正常环境下服从正态分布
.
（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56的概率；
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额
（单位：万元）与年利润增量
（单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：
；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对投资金额做交换，令
，则
，且有
，
，
，
.
（I）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 102.28 | 36.19 |
附：若随机变量
，则
，
；样本
的最小乘估计公式为
，
；
相关指数
.
参考数据：
，
，
，
.
