已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.经过点($\sqrt{3}$.$\frac{1}{2}$).且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)已知斜率存在的动直线l与椭圆C交于不同的点A.B.且△OAB的面积为1.若P为线段AB的中点.问:在x轴上是否存在两个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率存在的动直线l与椭圆C交于不同的点A、B，且△OAB的面积为1，若P为线段AB的中点，问：在x轴上是否存在两个定点M、N，使得直线PM与直线PN的斜率之积为定值，若存在，求出M、N的坐标，若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）根据点的坐标和离心率，即可求出椭圆的方程，
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l：y=kx+m，构造方程组，消元，根据韦达定理，和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，得到2|m|$\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}$=1+4k²，再根据中点坐标公式得到P点的坐标，继而得到$\frac{1}{2}$x_P²+2y_P²=1，假设存在M（s，0），N（t，0），（s≠t），运用斜率公式，计算化简整理，利用定值思想，可得s+t=0，st=-2，求得s，t，进而得到定值．

解答解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a²=4b²，即a=2b，
∵经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（II）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l：y=kx+m，
联立方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消元得到（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韦达定理知，x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由弦长公式知|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
原点到直线l的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），
因此S△_OAB$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=1，
∴2|m|$\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}$=1+4k²，
令1+4k²=n，
∴2|m|$\sqrt{n-{m}^{2}}$=n，
∴4m⁴-4m²n+n²=0，
即n=2m²，
即1+4k²=2m²，①
又P为线段AB的中点，x_P=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
因此，x_P=$\frac{-2k}{m}$，y_P=$\frac{1}{2m}$，
因此，$\frac{1}{2}$x_P²+2y_P²=1，
假设存在M（s，0），N（t，0），（s≠t），
那么k_PM=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{P}-s}$（x_p≠s），k_PN=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-t}$（x_p≠t），
∴k_PM•k_PN=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{{{x}_{P}}^{2}}{2}}{{{x}_{P}}^{2}-（s+t）{x}_{P}+st}$=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{{x}_{P}}^{2}-2}{{{x}_{P}}^{2}-（s+t）{x}_{P}+st}$，
当s+t=0，st=-2时，k_PM•k_PN=-$\frac{1}{4}$，
解得s=$\sqrt{2}$，t=-$\sqrt{2}$，
故在x轴上存在两个定点M（$\sqrt{2}$，0），N（-$\sqrt{2}$，0）使得直线PM与直线PN的斜率之积为定值．