Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的下界．已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调递增函数；
（2）试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f（x）在定义域上是否为有界函数，请说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t）满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²，并确定这样的x₀的个数．

Answer 1

（1）f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x．
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减，
要使f（x）在[-2，t]上为单调递增函数，则-2＜t≤0
（2）n＞m．
因为f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减，
所以f（x）在x=1处取极小值e．又f（-2）=

13

e2

＜e，
所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），
即m＜n．
由上知，因为f（x）在（-∝，0）上递增，且恒大于0，f（x）在（0，+∞）的最小值为e，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是有界函数，M=0
（3）因为

f′(x0)

ex0

=x²-x₀，所以

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²，即为x²-x₀=

2

3

（t-1）²．
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，从而问题转化为证明方程g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²=0
在（-2，t）上有解，并讨论解的个数．
因为g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

（t+2）（t-4），g（t）=t（t-1）-

2

3

（t-1）²=

1

3

（t+2）（t-1），
所以①当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解；③当t=1时，g（x）=x²-x=0?x=0或x=1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解；
④当t=4时，g（x）=x²-x-6=0?x=-2或x=3，
所以g（x）=0在（-2，4）上有且只有一解
综上所述，对于任意t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

xx0

=

2

3

（t-1）²，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀符合题意；
当1＜t＜4时，有两个x₀符合题意．