在平面直角坐标系中.已知O为坐标原点.点A的坐标为(a.b).点B的坐标为.其中ω＞0．设f(x)=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．的正的零点从小到大构成数列{an}(n∈N*).当a=$\sqrt{3}$.b=1.ω=2时.求{an}的通项公式与前n项和Sn,=2x.且g．当x∈R时.设f(x)的值域为M.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a_n}（n∈N^*），当a=$\sqrt{3}$，b=1，ω=2时，求{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（Ⅱ）记函数g（x）=2^x，且g（b）=g（a）•g（-2）．当x∈R时，设f（x）的值域为M，不等式x²+mx＜0的解集为N，若N⊆M，求实数m的最大值；
（Ⅲ）令ω=1，a=t²，b=（1-t）²，若不等式f（θ）-$\sqrt{ab}$＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．

分析（Ⅰ）由已知利用数量积的坐标运算得到f（x）的解析式并进行化简，得到函数y=f（x）的正的零点用k表示，由题意得到数列{a_n}（n∈N^*）的首项和公差，然后求{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（Ⅱ）由题意分别表示出f（x）的值域以及不等式的解集，利用N⊆M，列出不等式解得实数m的最大值；
（Ⅲ）由题意得到f（θ）-$\sqrt{ab}$＞0，进一步得到关于θ的不等式恒成立，找到等价条件化简．

解答解：（Ⅰ）由题得$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=acosωx+bsinωx$=$\sqrt{3}cos2x+sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（1分）
由$2sin（2x+\frac{π}{3}）=0⇒2x+\frac{π}{3}=kπ⇒{x_k}=-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．…（2分）
当k=1时${x_1}=-\frac{π}{6}+\frac{π}{2}=\frac{π}{3}＞0$，且${x_{k+1}}-{x_k}=\frac{π}{2}$（常数），
∴{a_n}为首项是${a_1}=\frac{π}{3}$，公差为$\frac{π}{2}$的等差数列．
∴${a_n}=-\frac{π}{6}+\frac{nπ}{2}，n∈{N^*}$．…（3分）
∴${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}=\frac{{（\frac{π}{3}-\frac{π}{6}+\frac{nπ}{2}）n}}{2}=（\frac{π}{12}+\frac{nπ}{4}）n=\frac{π}{4}{n^2}+\frac{π}{12}n，n∈{N^*}$．…（4分）
（Ⅱ）由g（a）=g（b）+g（-2）得2^a=2^b×2^-2⇒2^a=2^b-2⇒b=a+2．…（5分）
∵$f（x）=acosωx+bsinωx=\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}sin（ωx+φ）$，
∴f（x）的值域为$M=[{-\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}，\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}}]$．…（6分）
∵x²+mx=0的解为0或-m，∴N=[-m，0]或N=[0，-m]．
∴要使得N⊆M，须$-m∈[{-\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}，\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}}]$．…（7分）
∵$\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}=\sqrt{2{{（a+1）}^2}+2}≥\sqrt{2}$，∴$M=[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$．
∴$-\sqrt{2}≤-m≤\sqrt{2}$，即$-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}$．
∴实数m的最大值为$\sqrt{2}$．…（8分）
（Ⅲ）由题得$f（θ）-\sqrt{ab}$=t²cosθ+（1-t）²sinθ-t（1-t）=（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ
∴题意等价于（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．
令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．…（9分）
∵1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，
∴对称轴$t=\frac{1+2sinθ}{2+2sinθ+2cosθ}＜1$恒成立．
∴对称轴落在区间（0，1）内．…（10分）
∴题意等价于$\left\{\begin{array}{l}sinθ＞0\\ cosθ＞0\\△={（2sinθ+1）^2}-4（1+sinθ+cosθ）sinθ＜0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}sinθ＞0\\ cosθ＞0\\ sin2θ＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．…（11分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}2{k_1}π＜θ＜π+2{k_1}π，{k_1}∈z\\-\frac{π}{2}+2{k_2}π＜θ＜\frac{π}{2}+2{k_2}π，{k_2}∈z\\ \frac{π}{12}+{k_3}π＜θ＜\frac{5π}{12}+{k_3}π，{k_3}∈z\end{array}\right.$$⇒\frac{π}{12}+2{k_3}π＜θ＜\frac{5π}{12}+2{k_3}π，{k_3}∈z$．
∴θ的取值范围是$[{\frac{π}{12}+2kπ，\frac{5π}{12}+2kπ}]，k∈z$．…（12分）