Question

设a是正数，ax+y=2（x≥0，y≥0），记y+3x-x²的最大值是M（a），试求：
（1）M（a）的表达式；（2）M（a）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将代数式y+3x-x²表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M（a）．
（2）由（1）知）M（a）是分段函数，对每一段进行求最小值，然后从中选最小的，作为M（a）的最小值．
解答：解：（1）设S（x）=y+3x-x²，将y=2-ax代入消去y，得：
S（x）=2-ax+3x-x²
=-x²+（3-a）x+2
=-[x-（3-a）]²+（3-a）²+2（x≥0）
∵y≥0∴2-ax≥0
而a＞0∴0≤x≤
下面分三种情况求M（a）
（i）当0＜3-a＜（a＞0），即
时
解得0＜a＜1或2＜a＜3时
M（a）=S（3-a）=（3-a）²+2
（ii）当3-a≥（a＞0）即
时，
解得：1≤a≤2，这时
M（a）=S（）=2-a•+3•-•=-+
（iii）当3-a≤0；即a≥3时
M（a）=S（0）=2
综上所述得：
M（a）=

（2）下面分情况探讨M（a）的最小值．
当0＜a＜1或2＜a＜3时
M（a）=（3-a）²+2＞2
当1≤a≤2时
M（a）=-+=-2（-）²+
∵1≤a≤2⇒≤≤1
∴当=时，M（a）取小值，即
M（a）≥M（2）=
当a≥3时，M（a）=2
经过比较上述各类中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．
点评：本题主要考查函数思想的和分类讨论思想．解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3-a是否在定义域区间[0，]内，这样就引出三种讨论情况，找出解题的方案．