Question

设a是正数，ax+y=2(x≥0，y≥0)，记y+3x－x²的最大值是M(a)。试求：

(1)M(a)的表达式；

(2)M(a)的最小值。

Answer 1

答案：
解析：

由ax十y=2解出y后代入y+3x－x2中，消去y，将代数式y+3x－x2表示为只含一个字母x的二次函数，逐步分类求M(a)。     (1)设S(x)=y+3x－x2，将y=2－ax代入消去y，得S(x)=2－ax+3x－x2=－x2+(3－a)x+2=－ [x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0)，     ∵y≥0，∴2－ax≥0    而a＞0，∴0≤x≤，     下面分三种情况求M(a)：     ①当0＜3－a＜(a＞0)，即     时解得0＜a＜1或2＜a＜3。这时     M(a)=S(3－a)=(3－a)2+2。     ②当3－a≥(a＞0)，即     时，解得1≤a≤2，这时M(a)，=S=。     ③当3－a≤0，即a≥3时，M(a)=S(0)。     综合以上，得         (2)下面分情况探讨M(a)的最小值。     当0＜a＜1或2＜a＜3时，M(a)=(3－a)2+2＞2。     当1≤a≤2时，M(a)=。     ∵1≤a≤2，     ∴当时，M(a)取最小值，即M(a)≥M(2)=，当a≥3时，M(a)=2。     经比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。