Question

在正项等差数列{a_n}中，对任意的n∈N^*都有．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足，其前n项和为S_n，求证；对任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均为定植．

Answer 1

（Ⅰ）解：在正项等差数列{a_n}中，
对任意的n∈N^*都有，
令n=1，得，
∵a₁＞0，
∴a₂=2．
令n=2，得，
即a₁+2=a₃=a₁+2d，
故d=1．
∴a_n=2+（n-2）×1=n．
（Ⅱ）证明：∵a_n=n，=2ⁿ，
∴S_n=2+2²+…+2ⁿ
=
=2ⁿ⁺¹-2．
故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，
∴对任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均为定值-2．
分析：（Ⅰ）在正项等差数列{a_n}中，对任意的n∈N^*都有，令n=1，得a₂=2．令n=2，得d=1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=n，=2ⁿ，知S_n=2+2²+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，由此能够证明对任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均为定值-2．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和证明对任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均为定值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．