Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：AB⊥MF；
（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=

3

2

得

c

a

=

3

2

，椭圆方程可求．
（2）要证明AB⊥MF，只需证

MF

•

MF

=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算

AB

•

MF

即可．
（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．
再根据假设与已知条件去求M′坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距为c．
由已知条件，F（0，1），∴b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．所以椭E的方程为

x2

4

+ y2=1．
（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，
故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4．
∵抛物线的方程为y=

1

4

x²，求导得y′=

1

2

x，
∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是
y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），y-y₂=

1

2

x₂（x-x2）
即y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²
解得两条切线的交点M的坐标为（

x1+x2

2

，-1）
∴

AB

•

MF

=0
∴AB⊥MF．
（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=-1上，又直线y=-1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．-1），
设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y-y₀=

1

2

x₀（x-x₀）：，其中点（x₀，y₀）为切点．
令x=0，y=-1得，-1-

1

4

x₀²=

1

2

x₀（0-x₀），解得x₀=2或x₀=-2，
故不妨取A′（-2，1）B′（2，1），即直线A′B′过点F．
综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，-1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′
（A′、B′为切点），能使直线A′B′过点F．
此时，两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1．
抛物线C与切线M′A′、M′B′所围成图形的面积为
S=2

∫

2 0

[

1

4

x2 -(x-1)]dx=2(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

4

3

．

点评：本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．