Question

试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．

解答：解：当n=1时，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n=2时，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n=3时，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
当n=4时，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
①当n=3时，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假设当n=k时，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：

kk+1

(k+1)k

＞1
则当n=k+1时，

(k+1)k+2

(k+2)k+1

=(k+1)•(

k+1

k+2

)k+1＞(k+1)•(

k

k+1

)k+1=

kk+1

(k+1)k

＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即当n=k+1时也成立，
∴当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．