题目内容
（Ⅰ）试比较
，
，
的大小；
（Ⅱ）试比较nn+1与（n+1）n（n∈N+）的大小，根据（Ⅰ）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
| 2 |
| 3 | 3 |
| 5 | 5 |
（Ⅱ）试比较nn+1与（n+1）n（n∈N+）的大小，根据（Ⅰ）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
（Ⅰ）由于(
)6=8，(
)6=9，则
＞
又(
)10=32，(
)10=25，则
＞
所以
＞
＞
（Ⅱ）猜想：当n=1，2时，有nn+1＜（n+1）n ； 当n≥3时，有nn+1＞（n+1）n
证明如下：①当n=1时，不等式可化为：1＜2，显然成立
当n=2时，不等式可化为：23＜32，显然成立
②当n≥3时
设an=
(n≥3，n∈N+)，a3=
=
＞1
又
=
=[
]n+1=[
]n+1＞1
∴an+1＞an，即数列{an}是一个单调递增数列
则an＞an-1＞…＞a3＞1
∴
＞1即nn+1＞（n+1）n
综上所述，当n=1、2时，有nn+1＜（n+1）n
当n≥3时，nn+!＞（n+1）n
| 2 |
| 3 | 3 |
| 3 | 3 |
| 2 |
又(
| 2 |
| 5 | 5 |
| 2 |
| 5 | 5 |
所以
| 3 | 3 |
| 2 |
| 5 | 5 |
（Ⅱ）猜想：当n=1，2时，有nn+1＜（n+1）n ； 当n≥3时，有nn+1＞（n+1）n
证明如下：①当n=1时，不等式可化为：1＜2，显然成立
当n=2时，不等式可化为：23＜32，显然成立
②当n≥3时
设an=
| nn+1 |
| (n+1)n |
| 34 |
| 43 |
| 81 |
| 64 |
又
| an+1 |
| an |
| (n+1)n+2(n+1)n |
| (n+2)n+1nn+1 |
| (n+1)2 |
| (n+2)n |
| (n+2)n+1 |
| (n+2)n |
∴an+1＞an，即数列{an}是一个单调递增数列
则an＞an-1＞…＞a3＞1
∴
| nn+1 |
| (n+1)n |
综上所述，当n=1、2时，有nn+1＜（n+1）n
当n≥3时，nn+!＞（n+1）n
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