Question

设函数f(x)的定义域为R，对任意数a、b有f(a)+f(b)=,且

（1）求证：f(-x)=f(x)=-f(p-x)

（2）若0£x£时，f(x)>0，求证：f(x)在[0，p]上单调递减；

（3）求f(x)的最小周期并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：∵ ∴ f(0)=1 又f(x)+ f(-x)=2f(0)f(x)，∴ f(x)=f(-x) ∵ f(x)+f(p-x)= ∴ f(x)=f(-x)=-f(p-x) （2）证明：f(-x)=f(x)且0£x<时，f(x)>0    ∴ 当时，f(x)>0 设0£x1£x2£x，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(p-x2)=， ∵ ∴ ∴ f(x1)>f(x2)，即f(x)在[0，p ]上单调递减； （3）解：由（1）f(-x)=-f(p-x)得f(x)=-f(p+x)，f(p+x)=-f(2p+x) ∴ f(2p+x)=f(x)，说明2p是原函数的一个周期． 假设T0也是原函数的一个周期，且T0Î(0，2p)，则由f(T0+x)=f(x)得f(0)=f(T0) 但若T0Î(0，p]时，因原函数是单调递减函数，所以f(0)>f(T0)，两者矛盾； 若T0Î(p，2p]时，2p-T0Î(0，p)，从而f(0)>f(2p-T0)=f(-T0)=f(T0)，两者矛盾，所以T0不是原函数的一个周期，即2p是原函数的最小正周期．