Question

已知函数f（x）=2sinx+1．
（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上单调递增，求实数ω的取值范围；
（Ⅱ）设集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A∪B=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[-

π

2

，

π

2

]，ω＞0，可得x∈[-

π

2ω

，

π

2ω

]，利用f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上单调递增，可得不等式组，解不等式组，即可求实数ω的取值范围；
（Ⅱ）求出函数的值域，根据A∪B=B，可得A⊆B，从而可得不等式组，解不等式，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意，f（ωx）=2sinωx+1，由ωx∈[-

π

2

，

π

2

]，ω＞0，可得x∈[-

π

2ω

，

π

2ω

]，
∵f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上单调递增，
∴

π 2ω ≥ 2 3 π - π 2ω ≤- π 2 ω＞0

，
∴0＜ω≤

3

4

；
（Ⅱ）∵A∪B=B，
∴A⊆B，
∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2，
∵

π

6

≤x≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sinx≤1，
∴2≤f（x）≤3，
∴

m-2＜2 m+2＞3

，
∴-1＜m＜4．

点评：本题考查三角函数的性质，考查函数的值域，考查集合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦函数的单调性是关键．