Question

已知定义在R上的函数 f（x）的图象关于 (-

3

4

，0)成中心对称，且满足f（x）=-f（x+

3

2

）；f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2007）的值为（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称⇒f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），令x=

7

4

，可求得f（1）=-f（-

5

2

），利用f（x）=-f（x+

3

2

）及f（-1）=1可求得f（1）及f（x）是以3为周期的函数，从而可求得f（1）+f（2）+…+f（2007）的值．

解答：解：∵f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称，
∴f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），
∴f（-

3

4

+

7

4

）=-f（-

3

4

-

7

4

），
即f（1）=-f（-

5

2

），
而f（x）=-f（x+

3

2

），f（-1）=1，
∴f（-

5

2

）=-f（-1）=-1；
∴f（1）=1；
又f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
∴f（x）是以3为周期的函数；
又有f（1）=1，f（2）=f（-1）=1；f（3）=f（0）=-2；
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）
=669[f（1）+f（2）+f（3）]
=0．
故选：C．

点评：本题考查抽象函数的应用，着重考查函数的对称性与周期性的综合应用，考查推理与运算能力，属于中档题．