Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，左顶点为（-1，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值和线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）依题意e=

3

，a=1，故c=

3

，所以b²=2，由此能求出双曲线方程．
（2）由

x2- y2 2 =1 x-y+m=0

，得x²-2mx-m²-2=0，故

x1+x2=2m x1x2=-m2-2

，中点在直线x-y+m=0上，所以可得中点坐标为（m，2m），由此能求出m的值和线段AB的长．．

解答：解：（1）依题意e=

3

，a=1，
∴c=

3

，
所以b²=2（2分）
所以双曲线方程为x2-

y2

2

=1（4分）
（2）由

x2- y2 2 =1 x-y+m=0

，
得x²-2mx-m²-2=0，（6分）
∴

x1+x2=2m x1x2=-m2-2

，
又∵中点在直线x-y+m=0上，
所以中点坐标为（m，2m），
代入x²+y²=5得m=±1（8分）
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

2

．（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查实数值的求法和计算弦长，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件中的隐含条件，合理地进行等价转化．