题目内容

今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）．
（Ⅰ）求水箱容积的表达式f（x），并指出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若要使水箱容积不大于4x³立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

解：（Ⅰ）由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为（2-2x）米，宽（1-2x）米．
∴该水箱容积为f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x．…（4分）
其中正数x满足 $\text{[math]}$ ∴0＜x＜ $\text{[math]}$ ．
∴所求函数f（x）定义域为{x|0＜x＜ $\text{[math]}$ }．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤4x³，得x≤0或x≥ $\text{[math]}$ ，
∵定义域为{x|0＜x＜ $\text{[math]}$ }，∴ $\text{[math]}$ ≤x＜ $\text{[math]}$ ．…（8分）
此时的底面积为S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2（x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ））．
由S（x）=4（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，…（10分）
可知S（x）在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是单调减函数，
∴x= $\text{[math]}$ ．
即要使水箱容积不大于4x³立方米的同时，又使得底面积最大的x是 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（Ⅰ）确定长方体形水箱高为x米，底面矩形长为（2-2x）米，宽（1-2x）米，即可得到该水箱容积为f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x，根据长、宽、高为正数，可确定所求函数f（x）定义域；
（Ⅱ）根据水箱容积不大于4x³立方米，构建不等式，确定函数的定义域，再利用底面积为S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2，结合定义域，可得结论．
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，利用长方体的体积公式，确定函数是关键．