Question

今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起，做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．

(Ⅰ)求水箱容积的表达式f(x)，并指出函数f(x)的定义域；

(Ⅱ)若要使水箱容积不大于4x³立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为(2-2x)米，宽(1-2x)米．

∴该水箱容积为f(x)=(2-2x)(1-2x)x=4x³-6x²+2x．

其中正数x满足    ∴0＜x＜．

∴所求函数f(x)的定义域为{x|0＜x＜}． 

(Ⅱ)由f(x)≤4x³，得x≤0或x≥．

∵函数f(x)的定义域为{|0＜x＜}，

∴≤x＜．

此时底面积为S(x)=(2-2x)(1-2x)=4x²-6x+2

x∈[,)． 

由S(x)=4(x-)²-，可知S(x)在[)上是减函数，

∴x=． 

答：满足条件的x为米．